Gotthold Eisenstein

I. Une comète

Eisenstein naît à Berlin le 16 avril 1823, premier enfant d'une famille modeste. Ses cinq frères et sœurs meurent de méningite ; lui en réchappe, mais reste toute sa vie de santé fragile. Il joue du piano et compose. Vers quinze ans, il apprend seul le calcul dans les livres d'Euler et de Lagrange, puis suit, encore lycéen, les cours de Dirichlet à l'université de Berlin.

L'année 1844 est celle de l'éclat. Entré à l'université à l'automne 1843, il publie dans le Journal de Crelle, en une seule année, vingt-trois articles et deux problèmes, dont la première preuve publiée de la loi de réciprocité cubique. En juin, il passe deux semaines à Göttingen chez Gauss, qui n'était pas homme à s'enthousiasmer facilement. En 1846, Gauss écrit à Alexander von Humboldt qu'Eisenstein a un talent comme la nature n'en accorde qu'à quelques-uns par siècle. On cite souvent une phrase plus forte encore :

« Il n'y a eu que trois mathématiciens qui ont fait époque : Archimède, Newton et Eisenstein. »

Elle n'est pas de la main de Gauss. Elle vient d'une conversation dont se souvenait Moritz Cantor, l'un de ses derniers élèves, qui l'a rapportée en 1877 dans sa notice biographique d'Eisenstein.

La suite est plus sombre. Habilité en 1847, Eisenstein enseigne à Berlin, et Riemann suit son cours sur les fonctions elliptiques ; la même année paraissent ses Mathematische Abhandlungen, préfacées par Gauss. Le 19 mars 1848, pendant les combats de rue, il se trouve dans une maison d'où l'on a tiré sur les troupes du roi. Arrêté, conduit à la citadelle de Spandau et relâché le lendemain, il en sort la santé ébranlée et soupçonné d'idées républicaines, ce qui lui coûte des soutiens. Humboldt, lui, ne le lâche pas et lui obtient des bourses. Élu à l'Académie de Göttingen en 1851, puis, à la demande de Dirichlet, à celle de Berlin au début de 1852, Eisenstein meurt de tuberculose le 11 octobre 1852, à vingt-neuf ans, avant le séjour en Sicile que Humboldt lui avait obtenu. Humboldt, qui a quatre-vingt-trois ans, suit son cercueil.

II. Le nid d'abeilles

Gauss avait étendu l'arithmétique aux nombres a + bi, qui forment un quadrillage du plan complexe. Eisenstein fait de même avec une racine cubique de l'unité :

ω = e^2iπ/3 = (−1 + i√3)/2,   ω² + ω + 1 = 0.

Les nombres a + bω, où a et b sont des entiers, forment un réseau triangulaire du plan complexe. Chaque point y a six voisins à distance 1, et ce sont les six unités ±1, ±ω, ±ω², les seuls nombres inversibles. Si l'on donne à chaque point la région des nombres complexes plus proches de lui que de tout autre, on obtient un pavage par des hexagones réguliers : c'est le nid d'abeilles de toutes les planches de cette page.

La norme N(a + bω) = a² − ab + b² est le carré de la distance à 0, et elle est multiplicative : N(αβ) = N(α) N(β). Elle permet une division euclidienne, comme dans ℤ, si bien que la décomposition en facteurs premiers y est unique, à l'ordre et aux unités près. Multiplier par un nombre α revient à faire tourner le plan et à l'agrandir √N(α) fois : les multiples de α forment un nid d'abeilles plus grand, et tourné. Multiplier par l'unité 1 + ω = −ω² fait tourner d'un sixième de tour.

III. Premiers et roues hexagonales

Les nombres premiers ordinaires se comportent de trois façons. Ceux qui valent 1 modulo 3 se cassent en deux premiers conjugués, comme 7 = (2 − ω)(3 + ω) ou 13 = (4 + ω)(3 − ω). Ceux qui valent 2 modulo 3, comme 2, 5 ou 11, restent premiers. Enfin 3 = −ω²(1 − ω)² est le carré d'un premier, à une unité près : on dit qu'il se ramifie. C'est la version d'Eisenstein d'un théorème énoncé par Fermat et démontré par Euler : un premier p s'écrit a² − ab + b² exactement quand p = 3 ou p ≡ 1 (mod 3). Les premiers d'Eisenstein sont donc 1 − ω, les premiers ordinaires de la forme 3k + 2 et les facteurs des autres, chacun accompagné de ses six associés.

Comme la roue lcm compte les restes modulo k, la roue hexagonale compte les restes modulo α : N(α) alvéoles qui pavent le plan et qui, recollées par leurs bords, se referment en tore. Pour α = 2 − ω, de norme 7, c'est une fleur, le centre et six pétales. Tourner d'un sixième de tour, c'est multiplier par 1 + ω, et sur la roue de 7 cela revient à multiplier par 3 : les pétales portent dans l'ordre 1, 3, 2, 6, 4, 5, les puissances de 3 modulo 7. La racine primitive de 7, qu'on cherche à tâtons dans ℤ, devient une rotation. Empilés, les anneaux premiers 1 − ω, 2, 2 − ω et 3 + ω forment une lanterne : les alvéoles qu'aucun anneau n'arrête sont les unités et les premiers. Dans le disque des normes jusqu'à 64, ce sont exactement les 6 unités et les 78 premiers d'Eisenstein de norme 13 à 61, et la période de la lanterne est une roue hexagonale de 588 = 3 · 4 · 7 · 7 alvéoles, dont 216 = 2 · 3 · 6 · 6 laissent passer la lumière.

Roue de

Anneaux

On peut aussi voir ce crible comme une pile de calques transparents, à la manière des z-index d'une page web : un calque par premier, opaque sur ses multiples. Seules les alvéoles qu'aucun calque n'arrête laissent passer la lumière. Un calque de norme N retire toujours la même part, 1/N de la surface, où qu'on le pose, comme un anneau de la roue lcm retire un secteur sur k. En empilant tous les premiers de norme au plus Y, la part de lumière qui passe, Π(1 − 1/N(𝔭)), décroît comme e^−γ/(κ ln Y), avec κ = π/(3√3) ≈ 0,6046 : c'est le théorème de Mertens du nid d'abeilles, et la constante κ reviendra au chapitre IX.

Calques

Faire glisser les calquesRéaligner

Écarter

IV. Des calques aux anneaux

La rangée des entiers ordinaires traverse tous les calques. Là où elle croise les multiples d'un calque, elle lit un ruban de la roue lcm. Le calque 2 marque une alvéole sur 4 du plan, mais un entier sur 2 de la rangée : il donne l'anneau 2. Le calque 1 − ω marque une alvéole sur 3 et donne l'anneau 3, car un entier ordinaire est multiple de 1 − ω exactement quand il est multiple de 3. Le calque 3, plus clairsemé, une alvéole sur 9, donne pourtant le même anneau, et le calque 2(1 − ω), intersection des calques 2 et 1 − ω, donne l'anneau 6. Avec les calques 2, 1 − ω, 4, 5 et 2(1 − ω), on reconstruit la roue de 60.

Le cas de 7 est le plus parlant. Comme 7 = (2 − ω)(3 + ω), il y a deux calques de norme 7, tournés de 19,1° l'un dans un sens, l'autre dans l'autre, et bien distincts dans le plan. Sur la rangée, ils laissent pourtant exactement le même ruban, car un entier ordinaire divisible par 2 − ω l'est aussi par son conjugué 3 + ω. La roue de 420 porte donc, vue du plan, deux anneaux 7 superposés. Un premier inerte comme 5 n'a au contraire qu'un seul calque, qui marque une alvéole sur 25 du plan, mais un entier sur 5 de la rangée. Coupé le long de la rangée, le plan d'Eisenstein redonne la roue lcm ; enroulé modulo L, il devient un tore hexagonal, sur lequel la rangée se referme en boucle.

Calques

Reconstruirela roue de 60la roue de 420

V. Le tore et les poupées

Recollée par ses bords, la roue de 7 devient un tore couvert de sept hexagones qui se touchent tous deux à deux. C'est la carte de Heawood (1890), qui montre qu'il faut sept couleurs pour colorier les cartes d'un tore, contre quatre pour celles d'une sphère. Lajos Szilassi en a fait en 1977 un vrai polyèdre, à sept faces hexagonales planes. Une sphère, elle, ne se pave pas d'hexagones : si l'on n'utilise que des hexagones et des pentagones, trois par sommet, la formule d'Euler impose exactement douze pentagones, ceux des ballons de football, des dômes géodésiques de Buckminster Fuller et de la molécule C₆₀.

Roulé en cylindre, le nid d'abeilles devient un nanotube de carbone. Son vecteur d'enroulement est un entier d'Eisenstein, et le tube conduit l'électricité comme un métal exactement quand ce vecteur est multiple de 1 − ω, c'est-à-dire quand n − m est divisible par 3 dans la notation (n, m) des physiciens. Les nanotubes à parois multiples s'emboîtent comme des poupées russes ; c'est d'ailleurs le nom de leur modèle.

Les poupées de la roue de 7 sont arithmétiques. La fleur de 7 est la roue modulo 2 − ω ; celle de 49, modulo (2 − ω)², est faite de sept fleurs de 7, celle de 343 de sept fleurs de 49, et ainsi de suite. Chaque étage est le précédent agrandi √7 fois et tourné de 19,1°, et chaque alvéole y porte son reste modulo 7^k : c'est le thermomètre de 7 de la roue lcm, vu dans le plan. À la limite, le bord des poupées devient une fractale, l'île de Gosper, de dimension ln 9/ln 7 ≈ 1,13, et les restes deviennent des entiers 7-adiques.

Poupée

VI. Les lois de réciprocité

La réciprocité quadratique

Gauss appelait la loi de réciprocité quadratique le théorème fondamental : pour deux premiers impairs distincts p et q, q est un carré modulo p exactement quand p est un carré modulo q, sauf si p et q valent tous deux 3 modulo 4, auquel cas un seul des deux l'est. Eisenstein en a donné six preuves entre 1844 et 1847, dont une, en 1844, qui se voit. On compte les points entiers du rectangle de côtés p/2 et q/2, dont la diagonale ne touche aucun. Un lemme de Gauss, revu par Eisenstein, montre que q est un carré modulo p si et seulement si le nombre μ de points sous la diagonale est pair, et de même pour p modulo q avec le nombre ν de points au-dessus. Comme μ + ν = ((p − 1)/2) × ((q − 1)/2), la loi tombe d'elle-même.

p =

q =

La réciprocité cubique

Le plan d'Eisenstein est le cadre naturel de la loi suivante. Pour un premier π dont la norme N n'est pas 3, les restes non nuls modulo π forment un groupe cyclique de N − 1 éléments, un multiple de 3, et le caractère cubique

χ_π(z) ≡ z^{(N − 1)/3} (mod π)

vaut 1, ω ou ω² : il dit si z est un cube modulo π et, sinon, de quel côté il tombe. La loi de réciprocité cubique, dont Eisenstein publie la première preuve en 1844, affirme que χ_π(θ) = χ_θ(π) pour deux premiers π et θ distincts, pourvu qu'on les choisisse primaires, c'est-à-dire congrus à un entier ordinaire modulo 3 ; chaque premier a deux associés primaires, opposés l'un de l'autre. Jacobi en avait présenté des preuves dans ses cours de Königsberg en 1836–1837, et l'on en a retrouvé dans les papiers de Gauss, sans savoir si elles sont de lui ou d'Eisenstein. Dans la planche, chaque disque est colorié par le caractère cubique de son premier, et la couleur de θ vue par π est toujours celle de π vue par θ.

π =

θ =

Puissances supérieures et irréductibilité

En 1850, Eisenstein étend la loi aux puissances l-ièmes, pour un premier impair l, quand l'un des deux nombres est un entier ordinaire : c'est la loi de réciprocité d'Eisenstein, une étape sur le chemin de la théorie du corps de classes. La même année, il publie le critère qui porte son nom. Si un polynôme à coefficients entiers a tous ses coefficients divisibles par un premier p, sauf celui de plus haut degré, et que son terme constant n'est pas divisible par p², alors il ne se décompose pas en produit de polynômes de plus petit degré à coefficients rationnels. Theodor Schönemann l'avait publié dès 1846. Appliqué à x^p−1 + … + x + 1, après avoir remplacé x par x + 1, il montre que ce polynôme est irréductible. Ses racines sont les nombres e^2iπk/p, les p − 1 secteurs non nuls de l'anneau p posés sur le cercle unité, et on ne peut pas les répartir en familles plus petites définies par des équations à coefficients rationnels.

VII. Les séries d'Eisenstein

Le grand mémoire de 1847 construit les fonctions elliptiques, ces fonctions doublement périodiques du plan complexe, par des séries sur un réseau. Pour le réseau des points m + nτ, où τ est un nombre complexe de partie imaginaire positive, la plus simple additionne une petite flèche par point :

G_k(τ) = Σ 1/(m + nτ)^k,

la somme portant sur tous les couples d'entiers (m, n) ≠ (0, 0), avec k pair et au moins égal à 4. Ce sont les séries d'Eisenstein. Pour k = 2, la série ne converge que si l'on additionne dans un ordre précis, celui d'Eisenstein, et le résultat n'a plus tout à fait les symétries des autres.

La planche montre cette somme comme une marche : chaque point du réseau ajoute un pas, en commençant par les plus proches de 0. Pour le réseau d'Eisenstein, τ = ω, les six voisins de 0 sont les six unités, et pour k = 4 leurs pas font deux fois le tour d'un triangle : la marche revient à son point de départ, et il en va de même pour chaque couronne de six points. Ainsi G₄(ω) = 0, et plus généralement G_k(ω) = 0 dès que k n'est pas multiple de 6 : la symétrie d'ordre 6 du nid d'abeilles efface ces séries. Pour le quadrillage de Gauss, τ = i, ce sont G₆ et G₁₀ qui s'annulent, par la symétrie d'ordre 4. Les autres réseaux n'annulent ni G₄, ni G₆, ni G₈, ni G₁₀, mais G₁₂ s'annule pour un réseau qui, comme presque tous, n'a que le demi-tour pour rotation : τ ≈ 0,251 + 0,968i. Rankin et Swinnerton-Dyer ont montré en 1970 que, dans la zone où vit τ, tous les zéros des séries d'Eisenstein sont sur l'arc |τ| = 1.

Réseau

Exposant k

Vue comme une fonction de τ, chaque série G_k est une forme modulaire : décrire le même réseau dans une autre base la multiplie seulement par un facteur (cτ + d)^k. Toutes les formes modulaires du groupe SL₂(ℤ) sont des polynômes en G₄ et G₆. Avec les séries normalisées E_k = G_k/(2ζ(k)), la combinaison Δ = (E₄³ − E₆²)/1728 ne s'annule jamais, et le rapport j = E₄³/Δ classe les formes de réseaux, à agrandissement et rotation près : il vaut 0 pour le nid d'abeilles et 1728 pour le quadrillage.

Les coefficients de ces séries comptent des choses. En puissances de q = e^2iπτ,

E₄ = 1 + 240q + 2 160q² + 6 720q³ + …,

et le coefficient de qⁿ vaut 240 σ₃(n), où σ₃(n) est la somme des cubes des diviseurs de n. Cette série est aussi la série thêta du réseau E8 : il y a 240 points de E8 à la plus petite distance de 0, 2 160 au cran suivant, et ainsi de suite. Celle du réseau de Leech s'écrit E₄³ − 720Δ, et son premier coefficient non nul après 1 annonce ses 196 560 voisins. En 2016, Maryna Viazovska a démontré que E8 est le meilleur empilement de sphères en dimension 8, grâce à une fonction « magique » construite à partir des séries d'Eisenstein E₂, E₄, E₆ et des fonctions thêta ; une semaine plus tard, avec Cohn, Kumar, Miller et Radchenko, elle faisait de même pour le réseau de Leech en dimension 24. Elle a reçu la médaille Fields en 2022. Le nid d'abeilles n'est jamais loin : E8 peut se décrire comme un réseau de dimension 4 sur les entiers d'Eisenstein, et le réseau de Leech comme un réseau de dimension 12.

VIII. La fonction ℘ du nid d'abeilles

Pour k = 2, Eisenstein additionne 1/(z − λ)² sur tous les points λ du réseau, dans son ordre à lui. Le résultat est, à une constante près, la fonction que Weierstrass notera ℘ :

℘(z) = 1/z² + Σ [1/(z − λ)² − 1/λ²],

la somme portant sur les points λ ≠ 0. Elle est périodique selon le réseau, a un pôle double en chacun de ses points, et vérifie ℘′² = 4℘³ − g₂℘ − g₃, avec g₂ = 60 G₄ et g₃ = 140 G₆. Ses coefficients sont d'ailleurs les séries d'Eisenstein : ℘(z) = 1/z² + 3G₄z² + 5G₆z⁴ + 7G₈z⁶ + …

Sur le réseau d'Eisenstein, G₄ = 0, donc g₂ = 0, et l'équation se simplifie en ℘′² = 4℘³ − g₃, avec g₃ = Γ(1/3)¹⁸/(2π)⁶ ≈ 820,8. Seules les puissances z⁻², z⁴, z¹⁰… survivent dans le développement, et ℘(ωz) = ω℘(z) : tourner le plan d'un tiers de tour fait tourner les valeurs d'un tiers de tour. Il en découle une jolie géométrie. Le centre c d'un triangle du réseau ne bouge pas, à un point du réseau près, quand on tourne d'un tiers de tour autour de 0, si bien que ℘(c) = ℘(ωc) = ω℘(c), ce qui force ℘(c) = 0. Les zéros de ℘ sont exactement ces centres, qui sont les sommets des alvéoles, et ℘′ s'annule au milieu de leurs côtés, où ℘ prend les trois valeurs e, ωe et ω²e, avec e = (g₃/4)^1/3 ≈ 5,90. La fonction dessine elle-même le nid d'abeilles : ses pôles aux centres, ses zéros aux sommets, ses points critiques au milieu des côtés.

Sur le quadrillage de Gauss, c'est G₆ qui s'annule, g₃ = 0, et ℘(iz) = −℘(z) : ℘ a un zéro double au centre de chaque carré du réseau, qui est le coin des cases. Ces deux cas, les plus symétriques, s'appellent équianharmonique et lemniscatique.

Alvéoles

La notation ℘ et la présentation par une somme qui converge sans précaution sont de Weierstrass, mais Felix Klein reconnaissait que les fonctions elliptiques les plus simples sont définies par les séries d'Eisenstein. André Weil a consacré en 1976 un livre entier à cette approche, Elliptic Functions according to Eisenstein and Kronecker, qui l'a remise à l'honneur.

IX. La zêta du nid d'abeilles

Compter les points du nid d'abeilles par distance donne une autre fonction analytique. Le nombre r(n) d'entiers d'Eisenstein de norme n vaut 6 Σ χ₋₃(d), la somme portant sur les diviseurs d de n, où χ₋₃(d) vaut 1, −1 ou 0 selon que d est de la forme 3k + 1, 3k + 2 ou 3k. La série de Dirichlet correspondante se factorise :

Σ r(n)/n^s = 6 ζ(s) L(s, χ₋₃).

À ce facteur 6 près, celui des six unités, c'est la fonction zêta de Dedekind du corps ℚ(√−3), produit de la zêta de Riemann et de la série L de Dirichlet du caractère χ₋₃. En s = 1, ζ a un pôle, mais L(s, χ₋₃) garde une valeur finie, qui donne la constante du crible : L(1, χ₋₃) = 1 − 1/2 + 1/4 − 1/5 + 1/7 − … = π/(3√3) ≈ 0,6046, le κ de Mertens du chapitre III, par la formule des classes de Dirichlet. Écrite en puissances de q, la même série devient Σ q^N(z) = 1 + 6q + 6q³ + 6q⁴ + 12q⁷ + …, une série d'Eisenstein de poids 1 : le nid d'abeilles est, à lui seul, une forme modulaire.

Comme ζ, cette fonction a des zéros, et la formule explicite en fait un spectrographe, comme au chapitre IX du carnet de la roue lcm. Ses zéros sont ceux de ζ et ceux de L(s, χ₋₃) : deux familles de raies, la première à 14,13 ; 21,02 ; 25,01…, la seconde à 8,04 ; 11,25 ; 15,70 ; 18,26… Dans la lumière des idéaux premiers d'Eisenstein, un premier p ≡ 1 (mod 3) compte double, un premier p ≡ 2 (mod 3) n'apparaît qu'à la norme p², et le spectre montre les deux familles ensemble. L'hypothèse de Riemann généralisée prédit que tous ces zéros sont sur la droite critique ; elle n'est pas plus démontrée que l'hypothèse de Riemann elle-même.

Normes jusqu'à

En additionnant 1/z^k, Eisenstein écoutait aussi la direction des points du réseau, et pas seulement leur distance. Hecke a systématisé cette idée en 1918–1920 avec ses caractères de grandeur, des séries L qui pèsent les idéaux par la direction de leurs générateurs, et il en a déduit que les premiers d'Eisenstein se répartissent uniformément dans toutes les directions du plan. Quand k est multiple de 6, G_k(ω) est d'ailleurs, au facteur 6 près, la valeur en s = k/2 de l'une de ces séries.

X. Héritage

Presque tout ce qui porte le nom d'Eisenstein est resté au cœur de la théorie des nombres. Ses séries sont les premières formes modulaires et les briques de toutes les autres. C'est en étudiant des séries d'Eisenstein très générales que Robert Langlands a rencontré les fonctions L qui ont mené à son programme. En 1977, Barry Mazur s'est servi de l'« idéal d'Eisenstein » pour déterminer toutes les torsions possibles des courbes elliptiques sur ℚ. Les entiers d'Eisenstein, eux, décrivent le graphène, les grappes de cellules des réseaux de téléphonie mobile et les empilements de sphères en couches A, B, C des métaux, qui sont les trois classes modulo 1 − ω.

Eisenstein, raconte Weil, a essayé d'attirer l'étudiant Riemann vers la théorie des nombres, « non sans quelque succès », croyait-il. En 1859, Riemann publiait son unique article sur les nombres premiers, celui où la fonction zêta devient une fonction du plan complexe, avec ses zéros et son hypothèse.

Questions ouvertes

• Tous les zéros non triviaux de L(s, χ₋₃) sont-ils sur la droite critique ? C'est un cas de l'hypothèse de Riemann généralisée.
• Y a-t-il une infinité de premiers d'Eisenstein de la forme n − ω, c'est-à-dire de premiers n² + n + 1, sur la rangée voisine de celle des entiers ? C'est l'analogue d'un problème de Landau, encore ouvert pour n² + 1.
• Le meilleur empilement de sphères en dimension 4 est-il celui du réseau D4 des quaternions de Hurwitz, aux 24 voisins ? C'est le meilleur des réseaux, mais on ne sait pas le prouver parmi tous les empilements, alors que les dimensions 8 et 24 sont résolues.
• Les preuves de la réciprocité cubique trouvées dans les papiers de Gauss sont-elles de Gauss lui-même, ou d'Eisenstein ?

Références

• G. Eisenstein, « Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten complexen Zahlen », Journal für die reine und angewandte Mathematik 27, 1844 ; « Geometrischer Beweis des Fundamentaltheorems für die quadratischen Reste », ibid. 28, 1844, p. 246-247.
• G. Eisenstein, Mathematische Abhandlungen, besonders aus dem Gebiete der höheren Arithmetik und der elliptischen Functionen, préface de C. F. Gauss, Reimer, Berlin, 1847 ; « Genaue Untersuchung der unendlichen Doppelproducte, aus welchen die elliptischen Functionen als Quotienten zusammengesetzt sind », Journal für die reine und angewandte Mathematik 35, 1847.
• Th. Schönemann, « Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind », Journal für die reine und angewandte Mathematik 32, 1846 ; G. Eisenstein, « Über die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhängt », ibid. 39, 1850.
• M. Cantor, « Eisenstein, Ferdinand Gotthold Max », Allgemeine Deutsche Biographie 5, 1877 ; K.-R. Biermann, « Eisenstein, Ferdinand Gotthold Max », Dictionary of Scientific Biography ; J. J. O'Connor et E. F. Robertson, Gotthold Eisenstein, MacTutor.
• A. Weil, Elliptic Functions according to Eisenstein and Kronecker, Springer, 1976.
• K. Ireland et M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, chapitre 9 (réciprocité cubique) ; F. Lemmermeyer, Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, Springer, 2000.
• P. J. Heawood, « Map-colour theorem », Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 24, 1890 ; L. Szilassi, « Regular toroids », Structural Topology 13, 1986.
• R. Saito, M. Fujita, G. Dresselhaus et M. S. Dresselhaus, « Electronic structure of chiral graphene tubules », Applied Physics Letters 60, 1992.
• R. A. Rankin et H. P. F. Swinnerton-Dyer, « On the zeros of Eisenstein series », Bulletin of the London Mathematical Society 2, 1970.
• M. Eichler et D. Zagier, « On the zeros of the Weierstrass ℘-function », Mathematische Annalen 258, 1982 ; V. G. Papanicolaou, « The Weierstrass ℘-function of the hexagonal lattice » (arXiv:2105.04307).
• M. Viazovska, « The sphere packing problem in dimension 8 », Annals of Mathematics 185, 2017 ; H. Cohn, A. Kumar, S. D. Miller, D. Radchenko et M. Viazovska, « The sphere packing problem in dimension 24 », ibid. ; D. de Laat et F. Vallentin, « A breakthrough in sphere packing: the search for magic functions » (arXiv:1607.02111).
• E. Hecke, « Eine neue Art von Zetafunktionen und ihre Beziehungen zur Verteilung der Primzahlen », Mathematische Zeitschrift 1, 1918, et 6, 1920.
• R. P. Langlands, On the Functional Equations Satisfied by Eisenstein Series, Lecture Notes in Mathematics 544, Springer, 1976 ; B. Mazur, « Modular curves and the Eisenstein ideal », Publications mathématiques de l'IHÉS 47, 1977.
• Voir aussi le carnet de la roue lcm, chapitres VIII (D'autres dimensions) et IX (La lumière des entiers).