Carnet de la roue lcm

I. La roue et ses codes

Construction

La roue compte L(m) = lcm(1, …, m) secteurs (suite A003418) : 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2 520, 2 520, 27 720 pour m = 2 à 11. Son logarithme est la fonction de Tchebychev :

ln L(m) = ψ(m) = Σ_{n ≤ m} Λ(n)

Ajouter l'anneau m multiplie la roue par e^Λ(m) : par p si m = p^k, par 1 sinon. Un anneau qui n'est pas une puissance de premier est redondant : l'anneau 6 est le ET logique des anneaux 2 et 3. Le théorème des nombres premiers, ψ(m) ~ m, fait grossir la roue comme e^{m(1 + o(1))} : L(20) = 232 792 560 et ln L(20) ≈ 19,27. Nair a montré que L(m) ≥ 2^m dès m = 7.

Lire un rayon

Le rayon n porte un 1 sur l'anneau k exactement quand k divise n. Ce code ne dépend que de g = pgcd(n, L), et il le détermine. La roue compte donc d(L) codes distincts, et le code de g revient sur φ(L/g) rayons. En comptant classe par classe, on retrouve l'identité de Gauss :

Σ_{d ∣ L} φ(d) = L

Comme k ∣ n ⟺ k ∣ L − n, la roue est symétrique en miroir autour du rayon plein, et seuls les rayons 0 et L/2 ont un code unique. Comme roue à encoder, elle n'est pas absolue : elle ne dit pas où l'on est, elle dit de quoi l'on est fait.

Les thermomètres

Les anneaux d'un même premier se remplissent par le bas, comme la colonne d'un thermomètre. Pour les anneaux 2, 4 et 8, les seuls codes possibles sont 000, 100, 110 et 111 : on ne peut pas être divisible par 4 sans l'être par 2. Une colonne de e anneaux n'a que e + 1 niveaux, et les colonnes de premiers différents sont indépendantes (théorème chinois), d'où :

d(L(m)) = Π_{p ≤ m} (⌊log_p m⌋ + 1) = Π_{k ≥ 1} (1 + 1/k)^π(m1/k)

C'est la suite A056793 ; la seconde forme est due à Singh (2022). Elle se lit en miroir de ψ(m) = Σ θ(m^1/k) : la circonférence pèse chaque premier par ln p, le nombre de codes se contente de le compter. Au total, log₂ d(L) ~ π(m), environ un bit par nombre premier.

Le commentaire d'Eric Desbiaux sur A056793 (2013) observait que le rapport a(n)/a(n − 1) vaut 1, 2 ou une fraction qui ne semble jamais dépasser 3/2. Les thermomètres le démontrent : le rapport vaut 1 si n n'est pas une puissance de premier, 2 si n est premier (un nouveau thermomètre à deux états), et (k + 1)/k si n = p^k (le thermomètre de p gagne un cran). Les rapports non entiers sont exactement 3/2, 4/3, 5/4…, avec 3/2 aux carrés de premiers (A001248) : a(8)/a(7) = 32/24, a(16)/a(15) = 240/192, a(32)/a(31) = 18 432/15 360.

Les rayons muets

Les rayons qui ne portent que des 0 sont les n premiers avec L. Il y en a φ(L), et ils forment la roue des cribles de nombres premiers (wheel factorization) : tout premier p > m tombe sur un rayon muet. La réciproque est fausse, puisque 49 est muet sur la roue de 60. Leur proportion Π(1 − 1/p) tend vers 0 comme e^−γ/ln m (Mertens).

La symétrie et ses fruits

Le miroir n'est que la multiplication par −1 : multiplier les numéros de secteurs par n'importe quel u inversible modulo L préserve tous les codes. Ce groupe, (ℤ/Lℤ)^×, est le groupe de Galois de ℚ(ζ_L), et les codes sont exactement ses orbites. Le lemme de Burnside (compter les orbites par la moyenne des points fixes) donne alors l'identité de Menon (1965), car multiplier par u fixe pgcd(u − 1, L) secteurs :

Σ_{u inversible mod L} pgcd(u − 1, L) = φ(L) · d(L)

Sur la roue de 12 : 12 + 4 + 6 + 2 = 24 = 4 × 6 (vérifiée jusqu'à 1 200). Le miroir seul trie les caractères de Dirichlet en pairs et impairs, ce qui fixe le facteur Γ de leur équation fonctionnelle et décide si L(1, χ) fait apparaître π ou un logarithme : L(1, χ₋₄) = π/4, mais L(1, χ₁₂) = ln(2 + √3)/√3.

Les codes impossibles

Un code n'apparaît jamais dès qu'il est contradictoire, comme « divisible par 4 mais pas par 2 » ou « par 2 et 3 mais pas par 6 ». Il y en a 2^m−1 − d(L) : pour m = 20, seuls 960 des 524 288 codes apparaissent (0,18 %). Les codes possibles sont stables par ET (l'intersection correspond au pgcd), mais pas par OU : en logique, c'est un système de Horn.

La roue des anneaux premiers

Ne gardons que les anneaux premiers 2, 3, 5, 7… La roue compte alors la primorielle N = 2 × 3 × 5 × 7 = 210 secteurs, au lieu de lcm(1, …, 7) = 420. Plus de thermomètres ni d'anneaux redondants : chaque anneau est un bit indépendant (théorème chinois), les 2^π(m) codes apparaissent tous (16 pour 210), et le chemin visite l'hypercube entier. Un code y est simplement l'ensemble des premiers qui divisent n.

Sa lumière est exactement celle de la roue lcm, φ(N)/N = Π(1 − 1/p), puisque le phare ne dépend que des premiers : c'est la roue des cribles, celle de Lehmer, de TWINKLE et du critère de Nicolas. Sa fonction des cadrans devient Π(1 + p^−s), qui tend vers ζ(s)/ζ(2s), la série des nombres sans facteur carré ; sur sa droite de symétrie, Z(t) = Π 2 cos(½ t ln p) s'annule en t = (2k + 1)π/ln p. Sa version absolue, à cadrans premiers, est exactement le problème de Sunzi.

Anneaux premiers jusqu'à

‹›Lampe

II. La géométrie des codes

Un chemin dans l'hypercube

Un code est un sommet d'hypercube, avec une dimension par anneau : un carré pour les anneaux 2 et 3, un cube pour 2, 3 et 4, un tesseract pour 2 à 5. Un tour de roue trace un chemin fermé, et ce chemin est un aller-retour : du sommet 11…1 (n = 0) jusqu'au code de L/2, puis retour par les mêmes sommets. Deux entiers consécutifs étant premiers entre eux, deux codes voisins n'ont jamais un 1 en commun : le chemin saute, et son premier pas traverse la grande diagonale. Seuls d(L) sommets sont atteints (4 sur 4, 6 sur 8, 12 sur 16), chacun φ(L/g) fois.

‹›Lecture

Ce que le chemin révèle

• Il rase le sol : l'anneau k vaut 1 une fois sur k, donc l'altitude moyenne du chemin vaut exactement H_m − 1 = 1/2 + … + 1/m ≈ ln m. À m = 13, il reste en moyenne à 2,18 du coin 00…0, dans un cube de dimension 12.
• C'est une figure de Lissajous discrète : les bits d'un premier p ne dépendent que de n mod p^e, chaque bloc oscille seul, et le théorème chinois ne les resynchronise qu'au bout de L.
• On compte ses segments : un pas relie pgcd(n, L) à pgcd(n + 1, L), et chaque premier impair offre 2e_p + 1 cas, le premier 2 seulement 2e₂. D'où C(L) = e₂ · Π_{p impair} (2e_p + 1) cordes distinctes : 3, 6, 18, 18, 54, 81, 135, 135 pour m = 3 à 10 (vérifié jusqu'à 13). Un nouveau premier impair multiplie les sommets par 2 et les cordes par 3.

Cayley

La roue est le graphe de Cayley du groupe cyclique ℤ/Lℤ engendré par 1, et l'hypercube celui de (ℤ/2ℤ)^d, où chaque arête bascule un bit. Le chemin des codes n'est pas une marche de Cayley sur l'hypercube : c'est l'ombre du cycle quand on identifie n et u·n pour tout u inversible. Conséquence : parcourir la roue en étoile, par pas de n'importe quel inversible, donne exactement le même chemin. Sur la roue de 12, par pas de 5 (0, 5, 10, 3, 8, 1, 6…), on retrouve 111, 000, 100, 010, 101, 000, 110. Le chemin vraiment « Cayley » de l'hypercube, un bit à la fois et chaque sommet une fois, c'est le code de Gray des roues codeuses absolues.

Cyclotomie

Les L secteurs sont les racines L-ièmes de l'unité. Le code d'un secteur ne dépend que de son ordre d = L/pgcd(n, L) : les secteurs d'un même code sont les racines du polynôme cyclotomique Φ_d. Le miroir est la conjugaison complexe, et les deux rayons uniques sont les deux racines réelles, 1 et −1. Le quotient de deux roues consécutives vaut L(m)/L(m − 1) = Φ_m(1) = e^Λ(m). La factorisation x^L − 1 = Π_d∣L Φ_d(x) donne d'un coup les deux identités : en comptant les degrés, Σ φ(d) = L ; en évaluant (x^L − 1)/(x − 1) en 1, Σ Λ(d) = ln L.

Tores et sphères emboîtées

Par le théorème chinois, ℤ/Lℤ = Π ℤ/p^eℤ : chaque premier devient son propre cercle, et la roue devient une courbe fermée sur un tore, à l'intérieur de la sphère S^2k−1 de ℂ^k, une dimension complexe par premier. Or S³ est faite de tores emboîtés autour de deux cercles enlacés : les secteurs de la roue de 6 s'y alignent sur un nœud de trèfle, ceux de la roue de 12 sur le nœud torique T(3, 4). Chaque nouveau premier fait passer de S^2k−1 à S^2k+1 : S¹ ⊂ S³ ⊂ S⁵ ⊂ … Une puissance d'un premier déjà présent affine seulement son cercle.

‹›Lecture

III. À l'infini

Dès que m ≥ n, le code de n se fige : c'est l'ensemble de tous ses diviseurs. Deux entiers n'ayant jamais les mêmes diviseurs, le chemin 1, 2, 3… ne repasse plus jamais par un sommet. Les sommets atteints forment une grille infinie, un axe par premier et l'exposant pour coordonnée, et le chemin passe par chaque point une fois et une seule : c'est le théorème fondamental de l'arithmétique, dessiné comme un chemin. Les premiers deviennent les voisins directs de l'origine, et le palindrome disparaît, le reflet de n devenant −n.

L'altitude de n vaut alors d(n) − 1, et sa moyenne jusqu'à N croît comme ln N. L'écart à cette moyenne est le problème des diviseurs de Dirichlet : Voronoï l'a borné par N^1/3 à un logarithme près, on conjecture N^{1/4 + ε}, et la question est ouverte.

La roue limite est l'anneau des entiers profinis Ẑ = lim ℤ/Lℤ = Π ℤ_p. Les rayons muets y deviennent négligeables, et presque tout point de Ẑ est divisible par une infinité de premiers, puisque Σ 1/p diverge. Les entiers ordinaires n'y forment qu'une poussière dense et dénombrable.

IV. Tourner les anneaux

Ordre et alignement

Changer l'ordre des anneaux ne change rien : ça permute les axes de l'hypercube. Changer leur alignement ne change rien non plus tant qu'il reste un rayon plein (des décalages compatibles au sens du théorème chinois) : c'est la même roue, tournée. Sinon, c'est une vraie nouvelle roue. La symétrie disparaît (plus de palindrome, plus de Galois, plus de Menon). Les anneaux de puissances de premiers donnent toujours exactement d(L) codes, quel que soit leur décalage, tandis que les anneaux composés se réveillent : avec l'anneau 6 décalé de 2 crans, la roue de 60 passe de 12 à 16 codes, et celle de 420 de 24 à 32 (maximums sur tous les réglages). Des codes impossibles apparaissent, mais jamais de codeur absolu : la roue a toujours plus de secteurs que de codes binaires, L > 2^m−1.

Systèmes couvrants

Un système couvrant est une famille finie de congruences n ≡ a_i (mod m_i) que tout entier vérifie au moins une fois. Erdős les a inventés en 1950 pour prouver qu'une infinité de nombres impairs ne s'écrivent pas p + 2^k. L'exemple classique à modules distincts :

n ≡ 0 (mod 2), 0 (mod 3), 1 (mod 4), 5 (mod 6), 7 (mod 12)

Il faut au moins Σ 1/m_i ≥ 1 (ici 16/12), mais les chevauchements rendent le reste difficile. Un pavage exact, chaque entier couvert une seule fois, est impossible avec des modules distincts (Mirsky–Newman, Davenport–Rado) : si l'anneau a mod m s'écrit z^a/(1 − z^m), le pavage donnerait Σ z^a_i/(1 − z^m_i) = 1/(1 − z), et près d'une racine primitive M-ième de l'unité, M étant le plus grand module, un seul terme exploserait. C'est aussi par un système couvrant qu'on prouve que 78 557 × 2ⁿ + 1 n'est jamais premier.

Le phare

Une lampe au centre, des traits opaques : la lumière ne sort que par les rayons muets. La roue alignée est le meilleur phare possible, avec φ(L) faisceaux (A217863) ; le réglage le plus sombre laisse 1, 2, 2, 8, 4, 24, 24, 48, 36, 360 faisceaux pour m = 2 à 11, et aucun dès m = 12. Un anneau premier se contente de multiplier la lumière restante par 1 − 1/p, quel que soit son réglage. Une lanterne noire, c'est un système couvrant. La planche interactive du phare est sur la page de la roue.

La question d'Erdős et Selfridge reste ouverte : peut-on éteindre le phare avec des anneaux de périodes impaires toutes distinctes ? Il faudrait σ(N) ≥ 2N pour leur ppcm N, donc un nombre impair abondant, au moins 945 ; une preuve vérifiée en Lean a porté ce seuil au-delà de 10 000 en 2026. Hough et Nielsen ont montré que tout système couvrant à modules distincts contient un module divisible par 2 ou par 3, et Balister, Bollobás, Morris, Sahasrabudhe et Tiba ont exclu les modules sans facteur carré. Erdős offrait 25 dollars pour une preuve d'impossibilité, Selfridge 2 000 pour un exemple.

Constellations

Sur chaque roue, la proportion de paires de rayons muets à distance 2, divisée par le carré de celle des rayons muets, vaut 2 Π_{3 ≤ p ≤ m} (1 − 1/(p − 1)²) : 1,406 pour 60, 1,367 pour 420, et la suite tend vers 2C₂ ≈ 1,3203, la constante des nombres premiers jumeaux de Hardy et Littlewood. Un motif comme (n, n + 2, n + 6) est admissible exactement s'il apparaît en rayons muets sur toutes les roues. La roue calcule tout le local ; savoir si ces rayons portent une infinité de vrais premiers est le global, et c'est ouvert.

V. Machines, calendriers et lumière

Calendriers

Si chaque anneau ne garde qu'une période et avance d'une case par tic, le temps déroule la grande roue : pour m = 20, 19 petits anneaux totalisant 209 cases suffisent à parcourir 232 792 560 secteurs. C'est ainsi que tournent les vieux calendriers. Le cycle chinois fait tourner 10 troncs et 12 branches, d'où 60 années ; seules 60 des 120 paires apparaissent, car 10 et 12 partagent le facteur 2. Le Tzolk'in maya combine 13 nombres et 20 jours en 260 jours, et le calendrier rond revient au bout de lcm(260, 365) = 18 980 jours, environ 52 ans.

Avec k positions de départ par anneau, il y a m! réglages, regroupés par paquets de L par la rotation d'ensemble : m!/L machines vraiment différentes (A025527), dont une seule est la roue alignée. Ce nombre ne change pas quand on ajoute un anneau premier, la rotation absorbant toutes ses positions ; un anneau composé, redondant quand tout est aligné, le multiplie au contraire par sa période.

Engrenages

Deux engrenages de a et b dents qui avancent d'une dent à la fois retrouvent ensemble leur position de départ au bout de lcm(a, b) dents : avec 12 et 18 dents, le premier fait 3 tours et le second 2. Qu'ils soient engrenés l'un dans l'autre (sens contraires) ou entraînés par un pignon commun (même sens), le compte est le même. La position (x, y) n'est atteinte que si x ≡ y (mod pgcd(a, b)) : 36 combinaisons sur 216 pour 12 et 18. Les mécaniciens choisissent donc des nombres de dents premiers entre eux, avec une dent de chasse (41 et 20 plutôt que 40 et 20), pour que chaque dent rencontre toutes les autres.

Machines à cribler

Vers 1919, un amateur français, E.-O. Carissan, construit une machine à congruences à anneaux ; retrouvée dans un tiroir de l'observatoire de Bordeaux à Floirac, elle est aujourd'hui au Conservatoire national des arts et métiers. En 1932, D. H. Lehmer construit son crible photoélectrique : 30 engrenages percés d'un trou par reste, les restes interdits bouchés par des chevilles de bois, une lampe d'un côté et une cellule photoélectrique de l'autre, qui arrête le moteur quand les trous s'alignent. Elle factorise 5 283 065 753 709 209 en environ 25 minutes. En 1999, Adi Shamir décrit TWINKLE : une LED par premier, qui s'allume toutes les p impulsions avec une intensité proportionnelle à log p, et un photodétecteur qui guette les instants d'éblouissement, c'est-à-dire les nombres friables. L'appareil, prévu contre les clés RSA de 512 bits, est resté hypothétique, comme son successeur TWIRL (2003).

Le cylindre

Empilons des disques à un anneau, chacun réglable, dans un tube : une lampe en bas, l'œil en haut. La lumière n'atteint un secteur que si tous les disques y sont transparents. En tournant le disque p de −N mod p crans, on voit s'allumer les survivants entre N et N + 209 ; avec deux disques par premier, décalés de 2, les jumeaux. Le motif (n, n + 2, n + 4) éteint le tube : les trois disques de 3 couvrent les trois restes, et c'est pourquoi 3, 5, 7 est le seul triplet de ce type. Lehmer et TWINKLE mettent les premiers dans l'espace et les nombres dans le temps ; le cylindre met les deux dans l'espace, et une seule image montre toute une fenêtre.

Disques dans le tube :

−210N =+210

Skolem

Les anneaux sont des suites périodiques, donc des suites récurrentes linéaires. Le théorème de Skolem–Mahler–Lech dit que les zéros de toute suite récurrente linéaire forment un motif de roue (une union finie de progressions arithmétiques) plus un ensemble fini ; toute la difficulté du problème de Skolem, décider si une telle suite s'annule un jour, tient dans cet ensemble fini, et le problème est ouvert dès l'ordre 5. Les suites de Skolem, où chaque k apparaît deux fois à distance k, sont des lanternes noires exactes à deux traits par anneau : elles existent exactement quand n ≡ 0 ou 1 (mod 4), comme 1 1 4 2 3 2 4 3. Skolem les a inventées pour les systèmes triples de Steiner cycliques : 6n + 1 points sur un cercle, et les triangles {0, k, b_k + n} et leurs rotations passent par chaque corde une seule fois. Pour n = 1, c'est le plan de Fano, le triangle {0, 1, 3} et ses 7 rotations. Skolem bouche les distances, Erdős bouche les positions.

VI. La roue absolue

Pour rendre la roue absolue, un seul anneau par premier suffit, réglé sur sa plus grande puissance q ≤ m, à condition qu'il affiche n mod q en entier. Pour 60, trois cadrans (4, 3 et 5) au lieu de cinq anneaux binaires. Le théorème chinois recolle les trois chiffres a, b, c lus sur un rayon :

n ≡ 45a + 40b + 36c (mod 60)

Chaque coefficient vaut 1 sur son cadran et 0 sur les autres : 45 est le multiple de 15 qui vaut 1 modulo 4, 40 le multiple de 20 qui vaut 1 modulo 3, 36 le multiple de 12 qui vaut 1 modulo 5. En général e_q = (L/q) · u, où u est l'inverse de L/q modulo q. Pour 420 : 105, 280, 336 et 120 ; pour 2 520 : 945, 280, 2 016 et 1 800.

Ces coefficients sont universels : ce sont les idempotents de ℤ/Lℤ, avec 45² ≡ 45 (mod 60). ℤ/60ℤ en a exactement 8 (0, 1, 16, 21, 25, 36, 40 et 45), un par sous-ensemble de cadrans. Les Chinois les connaissaient : pour 3, 5 et 7, ce sont 70, 21 et 15, qu'un poème du XVI^e siècle fait apprendre avec la consigne de retrancher 105. Le problème de Sunzi (reste 2 par 3, 3 par 5, 2 par 7) se règle par 2 × 70 + 3 × 21 + 2 × 15 = 233 ≡ 23. Les mêmes coefficients accélèrent aujourd'hui le déchiffrement RSA. Curiosité : leurs sommes valent 121 = 11² pour 60, 841 = 29² pour 420 et 5 041 = 71² pour 2 520, mais la série s'arrête à 27 720 (55 441 n'est pas un carré).

La roue binaire ne faisait que demander à chaque cadran « es-tu à zéro ? ». En binaire, un cadran q coûte ⌈log₂ q⌉ pistes : 7 pour 60 positions, contre 6 pour un code de Gray, mais chaque piste a une toute petite période, si bien qu'on peut la remplacer par un engrenage. C'est le principe du nonius des codeurs absolus, et c'est le nœud torique mis à plat.

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VII. Vers la fonction zêta

Le prolongement

Le logarithme du quotient de deux roues, Λ(n), a pour série de Dirichlet −ζ′(s)/ζ(s), qui se prolonge à tout le plan complexe. Par la formule explicite de von Mangoldt, chaque zéro ρ de ζ fait vibrer la taille des roues :

ln L(m) = m − Σ_ρ m^ρ/ρ − ln 2π − ½ ln(1 − m⁻²)

(aux sauts près). L'hypothèse de Riemann équivaut à ln L(m) = m + O(√m ln² m) : c'est un énoncé sur le nombre de secteurs de la roue. Les fonctions qui ne voient que le code d'un rayon forment un espace de dimension d(L), dont la base naturelle est faite des sommes de Ramanujan c_q(n), sommes des puissances n-ièmes des racines de Φ_q. Ramanujan y développe par exemple d(n) = −Σ (ln q/q) c_q(n), ce que nous avons vérifié numériquement.

Tranches et faisceaux

Les nombres du secteur a ont pour série L^−s ζ(s, a/L), la fonction zêta de Hurwitz, et ζ(s) = L^−s Σ ζ(s, a/L) : la fonction zêta découpée en L tranches, une par secteur. Côté cadrans, chaque caractère de Dirichlet modulo 60 est le produit d'un caractère par cadran (il y en a 16), et leurs fonctions L isolent chaque faisceau du phare. Comme aucune L(1, χ) ne s'annule, les φ(L) faisceaux reçoivent à la longue la même part des premiers : c'est le théorème de Dirichlet. À distance finie, ils se font la course : sur la roue de 4, le faisceau 3 devance le faisceau 1 environ 99,6 % du temps en densité logarithmique (biais de Tchebychev, Rubinstein et Sarnak, sous des hypothèses sur les zéros).

Symétrie et hypothèse de Riemann

ζ vérifie une équation fonctionnelle qui échange s et 1 − s : ses zéros vont par paires miroirs ρ et 1 − ρ̄ de part et d'autre de la droite Re(s) = 1/2. Mais être symétrique par rapport à une droite n'est pas être sur la droite ; l'hypothèse de Riemann dit que chaque zéro est son propre reflet. La symétrie seule ne suffit pas : Davenport et Heilbronn ont montré en 1936 qu'une tranche ζ(s, a/L), avec a/L ≠ 1/2, 1, a une infinité de zéros à droite de Re(s) = 1, et construit à partir de deux fonctions L modulo 5 une fonction de même symétrie aux zéros hors de la droite. Il lui manque le produit eulérien, l'indépendance des cadrans premiers. On sait que plus de 40 % des zéros sont sur la droite (Conrey, 1989), et que les 10¹³ premiers y sont tous.

La fonction des cadrans

Pour la roue de L, la fonction des cadrans premiers est

F(s) = Σ_d∣L d^−s = Π_{p ≤ m} (1 + p^−s + … + p^−e_ps)

Chaque facteur est le thermomètre de p. On a F(0) = d(L), le nombre de codes, et la symétrie d ↔ L/d donne F(s) = L^−sF(−s), centrée sur Re(s) = 0. Sur cette droite, Z(t) = L^it/2F(it) est réelle :

Z(t) = Σ_d∣L cos(½ t ln(L/d²)) = Π_p sin((e_p + 1) t ln p/2) / sin(t ln p/2)

Un noyau de Dirichlet par cadran. Tous ses zéros sont sur la droite de symétrie, en t = 2πk/((e_p + 1) ln p), parce que chaque facteur est un produit de polynômes cyclotomiques en p^−s : pour chaque roue finie, une « hypothèse de Riemann » est vraie, et facile. Le problème est la limite : F ne tend vers ζ que pour Re(s) > 1, les zéros des roues restent sur Re(s) = 0 sans converger vers rien, et ceux de ζ naissent du prolongement, autour d'un centre déplacé en 1/2.

Fonction des cadrans de la roue

Fonction Z de Hardy pour ζ

Spectres d'émission et d'absorption

Une roue a deux spectres. Le spectre des fréquences vient de la transformée de Fourier : l'anneau k répète son motif tous les k secteurs, donc il émet un peigne de raies aux fractions j/k. La roue lcm(1, …, m) émet ainsi une raie à chaque fraction a/q avec q ≤ m, la suite de Farey d'ordre m. L'intensité de la raie a/q est la somme des 1/k sur les anneaux k multiples de q, et la raie 0 porte l'altitude moyenne H_m − 1. Les raies d'un même dénominateur q forment une famille, la somme de Ramanujan c_q.

L'anneau 6, redondant pour les codes, ne l'est pas pour la lumière : produit des anneaux 2 et 3, il crée des sons de combinaison, 1/2 − 1/3 = 1/6 et 1/2 + 1/3 = 5/6, comme deux notes qui battent. La roue des anneaux premiers, elle, n'a que des peignes premiers : ses raies sont les fractions a/p, sans aucun son de combinaison.

Le spectre des codes place une raie en ln d pour chaque diviseur d de L, puisque F(s) = Σ e^{−s ln d}. Le miroir d ↔ L/d le rend symétrique autour de ln √L, et les zéros de Z(t) sont les endroits où ces raies interfèrent toutes destructivement. À l'infini, les deux spectres se rejoignent dans le système de Bost–Connes (1995) : son algèbre est engendrée par toutes les fractions a/q et par les multiplications par n, de niveaux d'énergie ln n ; sa fonction de partition est ζ(β), son groupe de symétries Ẑ^×, et il subit une transition de phase en β = 1. Le spectre d'absorption de Connes est un cran plus loin : c'est celui des dilatations sur l'espace des classes d'adèles, où les zéros de ζ sont les raies manquantes.

Spectre des fréquences

Spectre des codes

Weil, F₁ et Connes

Le même mécanisme a déjà marché ailleurs : pour une courbe sur un corps fini à q éléments, toutes les roues tournent au même rythme, la fonction zêta est une fraction rationnelle en q^−s, et Weil a prouvé en 1948 que tous ses zéros sont sur la droite ; Deligne a étendu le résultat en 1974. Pour ℤ, les fréquences ln 2, ln 3, ln 5… sont indépendantes, et aucun facteur d'Euler ne s'annule : les zéros de ζ sont collectifs. Le programme du « corps à un élément » F₁ cherche à voir ℤ comme une courbe pour y transposer la preuve de Weil. Connes l'attaque sur les adèles, c'est-à-dire tous les anneaux chinois assemblés (Ẑ = Π ℤ_p) plus la droite réelle ; l'hypothèse de Riemann y devient la positivité de Weil (1952). Pour une fonction test à support dans (q^−1/2, q^1/2), seuls les premiers inférieurs à q interviennent : une roue finie. Toute la difficulté est de tenir pour toutes les roues à la fois.

Le phare donne même une inégalité équivalente à l'hypothèse de Riemann, sans analyse complexe : le critère de Nicolas (1983). Pour la roue primorielle aux anneaux 2, 3, 5, …, p, de produit N, la part de lumière φ(N)/N doit rester strictement sous e^−γ/ln ln N, pour toutes ces roues ; si l'hypothèse de Riemann est fausse, l'inégalité casse pour une infinité d'entre elles. Le critère de Robin (1984), σ(n) < e^γ n ln ln n pour n > 5 040, porte sur F(−1) = σ(L), la fonction des cadrans évaluée en −1.

Adèles et idèles

Poussons chaque cadran premier à précision infinie : lire n modulo 2, 4, 8, 16… sans fin donne un entier 2-adique, et ces lectures forment l'anneau ℤ₂. En assemblant tous les cadrans, on obtient Ẑ = Π ℤ_p, la limite de toutes les roues absolues. Une roue ne voit pourtant que des restes, jamais la taille d'un nombre. Les adèles (contraction d'« idèles additifs ») ajoutent donc la droite réelle ℝ, et autorisent des dénominateurs en remplaçant ℤ_p par ℚ_p pour un nombre fini de premiers. Un adèle est la lecture d'un même objet à toutes les places, réelle et p-adiques. Un rationnel se lit partout à la fois, et ses lectures sont liées par la formule du produit : pour 12, la taille réelle 12, la taille 2-adique 1/4 et la taille 3-adique 1/3 donnent 12 × 1/4 × 1/3 = 1. Cette formule fait de ℚ un réseau discret dans les adèles, comme ℤ dans ℝ, et le quotient des adèles par ℚ est compact : c'est la roue ultime, où tous les cadrans et la droite réelle tournent ensemble. Tate y a démontré en 1950 l'équation fonctionnelle de ζ par une formule de Poisson : la symétrie s ↔ 1 − s y apparaît comme une dualité de Fourier.

Les idèles, introduits par Claude Chevalley en 1936 (« éléments idéaux ») pour refonder la théorie du corps de classes, qu'il démontre en 1940 sans méthodes analytiques, en sont la version multiplicative : des familles (x_∞, x₂, x₃, …) de nombres non nuls, presque tous des unités p-adiques. Les inversibles modulo L, qui permutent les secteurs sans changer les codes, forment (ℤ/Lℤ)^× = Gal(ℚ(ζ_L)/ℚ) ; assemblés, ils donnent Ẑ^× = Π ℤ_p^×. Pour ℚ, le groupe des classes d'idèles se décompose en ℝ_>0 × Ẑ^× : la taille d'un côté, les symétries de toutes les roues de l'autre. Par le théorème de Kronecker–Weber, toute extension abélienne de ℚ tient dans un corps ℚ(ζ_L), donc dans une roue, et la théorie du corps de classes donne Ẑ^× ≅ Gal(ℚ^ab/ℚ). Chez Connes, ce groupe agit sur l'espace des classes d'adèles : ℝ_>0 par dilatations, dont le spectre porte les zéros de ζ, et Ẑ^× par canaux, un par caractère de Dirichlet, qui sont les faisceaux du phare.

VIII. Questions ouvertes

• Peut-on éteindre le phare avec des anneaux de périodes impaires toutes distinctes (Erdős–Selfridge) ? Le prochain candidat pour le ppcm est 10 395 = 3³ · 5 · 7 · 11.
• La suite des faisceaux minimaux (1, 2, 2, 8, 4, 24, 24, 48, 36, 360, 0) et celle des cordes de l'hypercube (3, 6, 18, 18, 54, 81, 135, 135, 405, 405) figurent-elles dans l'OEIS ?
• Les rayons muets jumeaux portent-ils une infinité de vrais nombres premiers jumeaux ?
• Quel est le bon exposant dans le problème des diviseurs de Dirichlet, c'est-à-dire l'écart de l'altitude moyenne du chemin à ln N ?
• Existe-t-il une positivité, sur les roues finies, qui tienne uniformément quand m → ∞ et entraîne le critère de Nicolas ? Ce serait l'hypothèse de Riemann.

Références

• OEIS A003418 (lcm(1, …, n)), A056793 (nombre de diviseurs de lcm(1, …, n)), A217863 (φ(lcm(1, …, n))), A025527 (n!/lcm(1, …, n)).
• A. Singh, « The number of divisors of the LCM of the first n natural numbers », The Mathematical Gazette 106 (565), 2022, p. 116-117.
• M. Nair, « On Chebyshev-type inequalities for primes », American Mathematical Monthly 89, 1982.
• P. K. Menon, « On the sum Σ(a − 1, n) [(a, n) = 1] », Journal of the Indian Mathematical Society 29, 1965.
• S. Ramanujan, « On certain trigonometrical sums and their applications in the theory of numbers », Transactions of the Cambridge Philosophical Society 22, 1918.
• P. Erdős, « On integers of the form 2^k + p and some related problems », Summa Brasiliensis Mathematicae 2, 1950.
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• P. Balister, B. Bollobás, R. Morris, J. Sahasrabudhe et M. Tiba, « The Erdős–Selfridge problem with square-free moduli » (arXiv:1901.11465) ; I. Mian et al., « Kernel-Checked Exclusions for the Erdős–Selfridge Odd Covering Problem », 2026 (arXiv:2607.25628) ; Erdős Problems n° 7.
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